基地國一數學課◎閔柏陵/三重青少年基地教學與生活輔導員

去年夏天,為了照顧一群常常來基地活動的小六的孩子,我們決定,再加開國一的英、數補救教學。事實上,基地的補救教學一直是因應著孩子們的需要而開展的:2003年時,我們發現必須要教孩子們學讀書,剛好那時基地國二的孩子比較多,於是先開辦國二英、數補救教學;2004年九月,國二的孩子升上國三了,於是除了繼續進行國二的課輔外,又加開了國三基測讀書班,陪孩子們規畫、安排讀書計畫、瞭解自己的讀書特長以及發展執行計畫的能力。

這幾年,總有幾個小六、國一的孩子在基地行走,他們在平常的晚上,也就跟著國三的學姐、學長們一起看書寫作業。去年 (2007) 春天,一票常常在附近公園玩的小六的孩子,忽然闖進了基地,發現這裡不但有冷氣可以吹,有紅茶可以喝,而且大人都不會兇,一群人就常常往基地跑。那幾個月,我們一邊處理孩子們的各種紛爭,一邊就想,應該為他們開個課。因為,一旦可以為弱勢的孩子們進行補救教學,我們就有機會補救其它東西。

2007年9月,基地的國一英、數課輔,就正式開始了。以下是這半年多來,數學課的報告。

I.預備.起

在國一班中,我們發現,剛升上國一的孩子,過去的挫敗經驗還在心理,變動和挑戰卻不斷撲來,讓孩子有更大的不確定。

察覺孩子的困難,讓孩子能夠好好上課,是我們的第一個課題。

小真,就是個很特別的例子。

國一班一開始,小真就在基地上課了,起初,小真總是有很多的外務:一下子要幫朋友出氣、一下子有人來找他麻煩、一下子弟弟在基地與別人吵架了,他要去安慰弟弟,要去調停、一下子小真的媽媽來基地要他回家去賣保特瓶……幾乎每天她都有不同的事情要臨時離開教室。

一開始,我以為小真是藉故不上課,但是當我問小真要不要每次上課前提早半小時來,我幫他補沒上到的內容時,小真竟然毫不猶豫的說好,看小真每天都開心的提早來上課,我才知道小真的問題不是在於不想學。而是,讀書上課的需要和家人、朋友、同學的需要發生衝突時,除了犠牲自己,她還不知道可以有什麼辦法。

有意思的是,這個提早半小時的建議,只進行了二個星期,後來,小真就不太常常從課堂中離開,反而是跟打擾他的人說,等我下課了再說。

有一天,小真說他比較喜歡來基地上課,我問他:「為什麼?」小真說:「我小學的時候很喜歡上課,因為老師都會在班上,很快就可以看到老師,也可以很快的問到問題,但是上了國中之後,老師上完課就走了,看起來都很忙,去辦公室也不見得會找到老師,有時候想要問問題,就不知道要問誰,而且老師都只跟小老師比較好。在基地,想問的時候就一定有人可以問,覺得很安心。」

國一上學期第二次段考結束,小真的英文、數學分數全班進步最多,她開心的來基地說:「今天,老師說他以前都不記得我長什麼樣子,改完考卷發現我進步很多,他特地來班上要認識我。我好開心喔!」

另一個不一樣的例子是阿凱。

阿凱在學校幾乎是不上課的,雖然他還只是個國一的學生,但學校老師已經放棄阿凱了,他一到上課時間就睡覺,老師也希望他多睡,因為如果不睡覺他就會找同學說話。阿凱坦白的說,他會到基地上課是被爸爸逼來的。

阿凱一開始來上課,也是一直趴著,只有可以上台寫答案時,他會抬起頭來,但奇怪的是,每次上課,他幾乎是我們班數一數二先學會的,我只要開個頭,還不用舉例說明,阿凱就一副了然於胸的樣子。但是,阿凱只願意在簡單的地方表現,如果題目稍微複雜一點點,數字稍微多一點點,阿凱就會說:「這太難了,我不要算!」

其實,上課不到幾個星期,阿凱就不在基地的課堂上睡覺了,但他對自己的能力仍然沒有信心。有一天,在阿凱回家前,我好奇的問他:「如果最聰明的人的IQ有180,假設我的聰明程度有100分,你覺得你有幾分?」,阿凱楞了一下,很不好意思的說:「應該只有50分吧!」我瞪大眼睛說:「可是我和小號(助教)都不這樣認為耶!」這時小號在一旁用力的點頭,「我們認為你應該是有120分的!」阿凱立刻說:「沒有吧!我成績都很爛耶。」

阿凱的成績的確從國小開始,就一直不太好,很多孩子在這樣長期的打擊下,早就放棄學習了;但阿凱一直有很旺盛的好奇心與求知慾,也是這個好奇心,讓他在基地上課時,雖然趴著,但耳朵總豎得高高,基地的課程,可以喚起阿凱的好奇心,可以鼓勵他重新評價自己,但我們更想要累積孩子們的能力,創造真正的學習的成就。

II.喚起興趣‧打破舊習慣

上數學課,第一個要面臨的挑戰,是孩子心中對數學的既定印象。

剛開始,數學單元名稱或題目一出現,孩子們就會說「我最討厭數學了」,說是討厭,卻也沒有人因此離開教室,只不過,聊天的聲音常常會傾巢而出。孩子們願意講話,是難能可貴的好事,但大家各講各的就不太好了,所以,那時花最多力氣的就是與孩子搶話題。

有一次,我跟大家講了一個數學家Eratosthenes(埃拉托塞尼,BC276-195古希臘人)的故事,我說:「在那個古老的年代,一個數學家也可能同時是哲學家、畫家、天文學家……」,話還沒說完,孩子們馬上插嘴說:「他瘋囉!幹嘛學那麼多東西啊?」「都是因為他們,害我們現在要學這麼多東西。」我繼續說:「而且這個數學家非常有趣喔,他生病之後,不能繼續算數學,不能繼續研究學問,就鬱鬱寡歡過世了。」孩子又大聲的說:「怎麼可能?要是我可以不用學數學,那就實在是太棒了,怎麼可能還會因為不能算數學而死掉。」在你一言我一語裡,孩子們不但聽懂了故事,也如實的反應了他對數學的感受。最重要的是,孩子們不再只跟彼此講話,大家開始願意跟我對話了。

孩子和「數學公式」之間,也有段複雜的愛恨情仇。

上學期剛開始上課沒多久,他們嘴裡總是一直唸著:「我們老師說要這樣,要用老師的算法。」但是,對於老師的方法,大家總是搞的亂七八糟。

有一天,我忍不住跟大家說:數學雖然是有標準答案,但是,得到答案的方法卻是很多的,不然大家都學一樣的,怎麼會發明出新的東西?不是學校老師的方法,或我教的方法才是最棒的,你可以選擇適合你的,如果你有你自己的算法,那更好,只要你是真的會了,真的懂了,沒有人規定你一定要用哪種方法計算。

孩子們瞪大了眼睛,一副不敢相信的模樣。後來,雖然大部分的孩子還是按部就班在意著公式與算法,但是有些孩子開始提出自己的算法,並且很樂於跟大家討論。

另外,我們也試著幫忙孩子跳出「數學一定要算得快」的窠臼。 

不知道為什麼,孩子才享受學習的喜悅沒多久,就會開始自己打擊自己,常常只要一學會,孩子就想要追求解題的速度,然而「吃快弄破碗」,算得快,錯得也就多,這樣一來,反而更打擊自己的信心。

因此,課堂上,我們刻意不要求計算的速度,而是思考的方法與過程。盡量不讓孩子算太多題目,而是討論各式各樣解題的思考與方法。

有的小孩會抱怨我教的太簡單,還有人會熱心的告訴我學校老師教的快速計算方法,有的時候孩子會質疑:「你教的跟我們老師一樣嗎?老師說要用他的方法比較快。」

雖然孩子們會在乎方法──畢竟這是比較明顯而容易模仿的對像;但漸漸地,孩子們開始會說:「喔~原來我們老師在說的就是這個喔。」

III.面對數學「問題」……

下面這個部分,我舉出三個課程實例,說明我們如何透過教案協助孩子「想學」數學、以及「會想」數學。

1.負負得正

國一數學第一個會碰到的重要問題,就是負數以及負數的四則運算。孩子們熟悉自然數(正整數)的運算法則,就算不太會,也能用一些比較具像的東西來幫助思考,像是畫圈圈、數指頭等,但是,遇到負數,這些方法都行不通。更因難的是,「+,-」這二個運算符號,現在不只表示「加」和「減」,它們還代表正數或負數。

有一次在課堂上,我唸了一個式子:3加6減7加負2減負9等於多少?,請孩子們把數學式子寫出來,一半以上的孩子寫成:

    3+6-7+-2--9=?

有幾個孩子記得要加上括號,但括號不是加成這樣:

    3+6(-7)+-2--9=?,

就是這樣:

    3+6(-7)+(-2)(--9)=?

仔細推敲孩子們的想法,我猜,他們之所以不會寫:
    
    3+6-7+(-2)-(-9)=?

是因為,他們不知道,嚴格說來,這個式子的完整版應該是:

    (+3)+(+6)-(+7)+(-2)-(-9)=?

然而,大家之所以沒有這樣寫,是因為正數是大家習以為常、使用最頻繁的數字,所以使用時就省略在正數前面加正號。就像我們在唸的時候不會特別去說正3、正6一樣。

這個小小的「基本常識」看起來沒什麼學問,卻是許多孩子在一開始進行正負數的加減時,心頭的大麻煩。

關於負數與正、負數的四則運算,國一的數學課本是這樣教的:先告訴學生負數就是比0還要小的數,它與正數的差別就在於符號不同。另外,再用正負數來比大小,然後就是加減運算。這些單元在學校都教得非常快,因為運算法則和正整數一樣,感覺起來也沒什麼好教的,所以幾乎很快就被帶過。

課堂上,我們上到(-4)+(-2)=?小美立刻就說:6,我請她說說看為什麼是6?小美說:很簡單阿!因為負負得正。

原來,小美在做正、負數的運算時,會把式子裡的「-」號先數一遍,如果有偶數個,最後的答案就是正的,如果有奇數個,最後的答案就是負的,確定正或負後,小美才開始做數字的加減。

我追問她為何要這樣算,小美說:「我也不知道,我們老師就是這樣教的。」我相信學校老師一定不是這樣教,但小美的狀況透露出許多重要的訊息:她知道有一個負負得正的原則,但她不明白負負得正究竟指的是什麼;她其實有點懷疑自己的想法,但她不知道該怎麼問。

對於一個不明白「負負得正」究竟在說什麼的孩子,正負數的加減法應該是個大災難:有的時候「+」號是相加(如:(-3)+6),有的時候「+」號又變成相減(如:6+(-3)),有的時候「-」號是相減(如:(-3)-2),但有的時候「-」號又變成相加(如“(-3)-(-2)),在這些加、減、正、負變化的過程裡,孩子們的舊知識完全幫不上忙,於是小美只能胡猜。

為了幫助孩子們重新建立這個正整數與負整數的體系,我們除了談到負數的起源外,也參考了人本基金會出版的七年級數學想想的內容,大家一起來,為式子說故事。

我問孩子:「(-4)+(-2)=?這個式子可以說什麼故事?」,孩子很快的說:就我跟你借了4元,又跟你借了2元,所以總共欠你6元,所以答案是-6。接下來,我把中間的加號改成減號,再問:「那如果是(-4)-(-2)=?怎麼辦?還是可以用借錢的故事嗎?」

大家還沒開始想故事,就有一個孩子說:「我們老師說,減一個負等於加一個正。」我請孩子說明一下這句話的意思。孩子說:「就是(-4)-(-2),就減了一個負2,答案就是-2,改成加一個2,也是-2,所以就一樣啦!」孩子說完,自己忽然吐了舌頭,他發現根本不知道自己在講什麼,一旁的大家也是聽得一頭霧水,雖然大家都覺得他們老師那句話聽起來很厲害,卻沒有人有辦法說清楚那句話的意思。

於是我們又回到(-4)-(-2)=?可以說什麼故事。孩子們終於吱吱喳喳的說了起來,一邊說如果怎樣怎樣…,一邊又說這樣好像又不太對耶…,大家一下子借,一下子還,一下沒有借,一下子又沒有還,講來講去,就是兜不攏,但雖然是兜不攏,隱約又覺得,好像(-4)和(-2)之間有一種奇妙的關係,而(-4)和(-2)的「-」和,中間那個「-」減雖然長得一樣,但意思似乎不一樣。  

大家翻來覆去的,困在欠錢,借錢的循環裡,最後我順著孩子們的思考說:如果前面的(-4)和後面的(-2)都代表負債,中間的「-」減號代表減掉一個東西,你們覺得是減掉了什麼?」孩子想了想,說:「那應該是減掉其中一個負債吧!」,有小孩反應快,馬上說,二個負債減掉一個,答案有可能是-4,另一個孩子說:「不對,應該是,我原本已經欠你4元,但是我現在把欠你的錢裡面,欠2元的部份取消了,所以,我現在就只欠你2元而已。所以(-4)-(-2)就等於(-2)」。這個說法一出現,大家都開心的歡呼了。

後來,我們又把題目改成4-(-2),小孩們很快的說:「我原本有4元,本來欠你2元,但現在不用還,所以……」孩子們忽然講不下去,因為,原本有4元,欠的2元不用還,那就還是只有4元啊!我把孩子們的話寫在黑板上:

「原本有4元,本來欠你2元,但現在不用還」請大家列式子,一開始大家都寫:4-(-2)

我請大家再著磨一下那句話的意思,終於有人說,好像應該是

4+(-2)-(-2),因為,還有「本來欠你2元那句。」

從中文推敲過去,出現這樣的式子,那麼,從式子推敲過來,究竟應該是什麼文句呢?大家一起瞪著「4-(-2)」,忽然有人說:「會不會是,本來是有6元?」「因為6元裡面,有二元是要還錢的,但後來那2元不用還了。」「就是說,有欠人錢嘛,那就要先準備好還人的錢,但最後那個要還人的錢不用還了」「就是……」孩子停不住的一直講,大家邊聽邊想,最後有一個孩子聽懂了,說,「你是說,本來有6元,但因為裡面的2元是要還人的,所以不算,就變成4元,但後來,欠人的2元不用還了,所以……」經過這個補充,漸漸的,明白的人變多了,我請幾個孩子上台,用白板再講解一遍,孩子們再把剛剛的話,完整的說一遍,我一邊補上數學式:

手上有4元,另外還欠人2元,準備要還,但後來那2元不用還了
            4     (-2)      +2       -(-2)

合起來就是:
    4+(-2)+2-(-2),
也可以改成4+2+(-2)-(-2)

孩子們看看文字,又看看式子,有人說:「這好像就是負負得正喲!」「看起來好像是減一個負債會變成正的,其實是本來有準備好要去還債,但最後不用還。所以,是因為有準備啦!」「我知道,是那個式子偷吃步。」

這樣討論下來,孩子們雖然累得七暈八素,但大家都很過癮,最過癮的是,孩子們發現討論的樂趣,而且開始願意胡講亂猜。當大家開始乎為什麼,並且想要用自己的經驗與感受去思考與推理的時候,數學的學習就真的開始了。

2.內項積=外項積

有一天,我們上到比與比值,題目是:2x=3y,則x:y=?題目才寫完,小傑立刻說,是3:2。

既然有人給答案,我們就演算驗證看看,我才開始列式準備一步一步慢慢算,小傑就馬上說:柏陵,你這樣算太慢了。我都用內項積等於外項積,一下子就算出來了,真的,超快的。

我請小傑上台說明,他是怎麼想的,小傑一上台就說:「2x=3y,因為內項積就等於外項積,所以x=3,y=2」我說:「我幫你補充看看,你的意思應該是說,因為之前算x:y=3:2時,可以用內項積與外項積相等,而得到2x=3y,所以你現在就是反推回去,是這樣嗎?」小傑開心的點點頭,但是這樣的反推法,和大家一般習慣的順著問題想,實在差別太大,好幾個孩子都聽到皺起了眉頭,我趕快請大家先不用急,把小傑的方法放著,先想2x=3y是什麼意思。

中間下課時,小傑主動找我說:「那方法好用吧!超快的。」我再問小傑一次,你到底怎麼想出來的?小傑開心的又跟我解釋了一次:「2x=3y,因為內項積就等於外項積,所以x=3,y=2。」我開始有點納悶與懷疑,就追問:「那你所說的內項積與外項積相等是什麼意思?」小傑就在白板上寫了2x=3y,並且說:內項積就是中間這兩個(指著x、3),外項積就是外面這兩個(指著y、2),所以就可以知道x:y=3:2。

這下真相大白,小傑雖然算得對,但他講的過程是錯的。有趣,但也麻煩的地方是,因為算得都對,所以他一點都不覺得自己的講法有不對勁的地方。除了跟他計較什麼才是內項積與外項積,我更在乎他是不是發現了什麼,但說不清楚,才套用了這個公式的說法。

於是我問他,那如果是2x=3y=4z時怎麼辦,小傑篤定的說:「那就不行用內項積來算了,因為情況比較複雜。你看,2x=3y意思是,左邊相乘會等於右邊相乘,那左邊有一個2,右邊有一個3,所以給左邊右邊的3,給右邊左邊的2,這樣它們就會一樣了啊,所以一看就知道x等於3,y等於2;每個這種式子都是這個樣子!」

看小傑講得那麼清楚,我問他:「這個事情可以不要叫作內項積=外項積嗎?」小傑愣了一下,我繼續說:「叫作一看就知道,你覺得如何?」這下小傑終於開心的點頭。最後,透過小傑的解說,孩子們也發現,二個變數的比值,真的可以一看就知道。

和小傑這一番討論,讓我更慎重的看待孩子的表現,雖然孩子們常常說錯話,用錯公式,但說錯不一定表示想錯,想錯也不一定表示不會。越過語言的表現,瞭解孩子們真正在思考咀嚼的事物,反而可以跟著孩子們前進。

3.月考的題目

我們也陪孩子看學校的考題。下學期第一次段考考完,孩子們一來基地就直說好難好難,本來對於這次考試很有信心的孩子,也直說怕考不好。.

拿起學校的考題,我仔細的看了一遍,發現題目其實不難,但需要轉個彎,也就是,如果孩子們願意認真把題目看完,並不會考得太差;這時,我再回想一下孩子平時學習的狀況,如果是單純的計算題,他們都很能拿起筆就算,但是一碰到有敘述型的題目,他們就會昏在敘述裡面,所以我想孩子所謂的「很難」,應該就是這類型的題目!既然困難在於「題目」,那麼練習看題目,就是重點了。

一開始我先問孩子:考不好的原因有什麼,每個人都大聲的搶著要說,歸納了一下他們說的有:
        1. 題目太爛
        2. 題目太多
        3. 時間不夠
        4. 題目太難
        5. 粗心
我說:好,那我們來看一下題目,我們只要知道怎麼算就好,不用真的去算,如果真的不會,我們再算。

我們每個人拿著題目卷,由一個人念,其他人一邊看,先看大家是不是都看懂題目,如果都看懂,就請大家說一說知不知道該怎麼算,不用真的去算,就是大家用說的就好了。

例如這一題:

        x=2,y=1是下列哪一組方程式的解? 

 

通常小孩看到這題目,就會覺得很煩,因為直覺就是要算四個題目,但是,這次只要知道怎麼算就可以了。大家除了說,把四個題目的x、y都算出來,看哪個是上面那個答案,也開始有人說,把x=2,y=1帶入四個選項中的其中一個式子,如果有不合的,就先劃掉,剩下的再仔細算一遍,看看是不是真的是答案。

陪孩子慢慢的看題目,想一遍解題的方法,這樣慢慢看的過程,就會聽到孩子說:「喔!是這樣喔!」或者「ㄟ…其實不難耶!」、「我那時候都沒想到耶」、「我光花時間把這題看懂就花掉太多時間了!」,就這樣,等我們把整張考卷都看完,我再問孩子們說:你們現在還覺得考卷很難嗎?幾乎大家都微微的笑並且微微的搖著頭。

我接著說:「但是,我看到題目的時候,我就有猜到大家會覺得難,我會這樣猜是因為,題目不是看一次就會算了。」大家用力的點頭,「而且有的題目很長,我猜你們都沒看完,或者不管怎麼看都會看到隔壁行,或是看完就忘了,得再看一次。」大家又用力點頭,「而且,這張考卷越沒有耐心的人,就會考的越不好。」這次大家不僅一直狂點頭又一直說:「沒錯沒錯,我就是這種人」。

看著孩子開心的樣子,不知道,他們是又有信心,可以面對下一次的挑戰?還是開心又學會了一件事情?或者是,單純的因為他們的困難被看見了?

IV.不是「補救」教學,是補救「教學」

基地的孩子,一開始並不期待自己在學業上的任何進步,他們常常說: 

    「我最討厭數學了。」
    「我今天可以不要算數學嗎?」
    「我覺得沒有學會也沒有關係阿,反正我本來就學不會。」

我們一方面要花心思照顧孩子們的心情:不給很多很難的功課、不幫孩子以程度區分、鼓勵大家問問題、有人說不會聽不懂時,大大的稱讚。細緻地照顧孩子的需求,讓孩子從根本不想碰數學、進步到碰了但不敢問、再進步到敢說自己「不會」以及「哪裡不會」的第一步。

另一方面,我們總是一直問自己,孩子不會什麼?為什麼不會?如何讓孩子們會?因此,我們鼓勵孩子跳脫過去困住他們的泥淖,享受「想」、甚至會「說」、以及分享學習方式的樂趣,是我們的目標。

前面提到的阿凱,後來很喜歡上台解題,在班上帶起了一股上台解題的風潮,原本不願意上台解題的人,也突然有種躍躍欲試的衝動,當他們在台上答對時,他們就會希望我趕快再出題給他們算,漸漸的,就算答錯了,他們也不那麼在乎。

我也試著請孩子在台上像個老師一樣教大家怎麼算,他們一開始不願意,但沒多久,大家也都不怕「當老師」了。不僅是「不怕上台展現」,更是「不怕出醜」。這個意外的發展,也讓孩子因而能夠更大方地肯定自己、接受自己。

很多時候,我們想要補救孩子的不足,所以拼命給東西。但在基地的經驗告訴我們,如果我們以孩子的困難為出發點,發展讓人可以學會的教學,讓孩子重建了信心,重新有了熱情與興緻,重新發現學習的樂趣,孩子們就可帶著學習的成就前進。

版權所有,若欲轉載,請註明出處。
2008年基地工作報告完整閱讀
基地2008工作報告邀請函
工作報告前言
評論一:修復與重建我們的學習機制◎柯華葳
評論二:教孩子釣魚的三重青少年基地◎吳齊殷
評論三:讓孩子產生力量讓社會有所改變◎胡中宜
報告一:打破心智階級—以愛喚起愛,以學習喚起學習◎江思妤
報告二:基地國一數學課◎閔柏陵
報告三:修復與重建孩子的學習機制◎李思慧
報告四:我們這樣成為一個班◎郭珮筠

創作者介紹

三重青少年基地

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